3.3 Применение математических методов и моделей для оптимизации бизнес-процессов.

3.3.1 Управление материально-техническим снабжением.
Управление запасами
Модели управления запасами применяются для нахождения оптимальной  стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов. Входными параметрами являются объемы закупаемых ресурсов, их цены, стоимости хранения ресурсов, интенсивность потребления ресурсов.[1]
Основные характеристики моделей управления запасами:
Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в простейшем случае – постоянным во времени) или случайным. Случайность спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.
Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания заказов, т.е. снижения их до некоторого уровня.
Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании заказов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня – так называемой точки заказа.
Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или случайный интервал времени.
Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент – разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих (чаще всего – линейно) от объема партии.
Издержки хранения. В большинстве моделей управления запасами считают объем склада практически неограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагают, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.
Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживающей системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т.п. Эти убытки называются штрафом за дефицит.
Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас.
Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т.п.
В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т.п.) и затраты на штрафы.
Возможны разные постановки задачи управления запасами. Под оптимальным обычно понимается решение, минимизирующее сумму всех расходов, связанных с создание запасов. Расходы бывают трех типов: расходы на оформление и получение заказа, стоимость хранения продукции и штрафы при истощении запасов за недопоставленную продукцию. Приходится также учитывать характеристики спроса (известен — не известен, постоянный - зависит от времени, возникает в определенные моменты — есть все время и т. д.) и заказов (выполняются немедленно — спустя какое-то время, принимаются в любое время - в определенные моменты, поступает заказанное равномерно - неравномерно и т. д.). [1]
Модели управления запасами.
Пусть функции A(t), B(t), R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени a(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.
Если функции a(t), b(t), r(t) – не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер – стохастической. Если все параметры не меняются во времени, она называется статической, в противном случае – динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамическое – в случае принятия последовательных решений об уровне запаса или корректировке ранее принятых решений с учетом происходящих изменений.
Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов
 ,
где J0 – начальный запас в момент t=0
Представленное уравнение чаще используется в интегральной форме:
 

Схема решения задачи

Статическая детерминированная модель без дефицита
Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t).
Функцию затрат можно записать в виде:  С=С1 + С2
 Где     С1 – затраты на пополнение запасов;
            С2 – затраты на хранение;
Тогда 
 где с1 – затраты на поставку одной партии объема  n.
        N – общее потребление запаса за период .
 
        с2 – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.
 В итоге функцию затрат можно записать в виде:
 
а своего минимума функция достигает в точке 
или 
Последняя формула называется формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии.
Статическая детерминированная модель с дефицитом
В рассматриваемой модели полагается наличие дефицита. Это означает что при отсутствии запасаемого продукта т.е. при J(t)=0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t)=b, но потребление запаса отсутствует – b(t)=0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b.
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 – на штраф из-за дефицита, т.е. С=С1 + С2 + С3
В этом случае

S – уровень запасов.
 
с3 – штраф за дефицит в единицу времени на каждую единицу продукта

Тогда функцию затрат можно записать в виде:

Рассматриваемая задача управления запасами сводится ц отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса S, при которых функция С принимает минимальное значение. Другими словами необходимо исследовать функцию двух переменных C(n,S) на экстремум: