2.1.4.2. Технология корреляционно-регрессионного анализа
В статистике показатели, характеризующие различные явления, могут быть связаны либо корреляционной зависимостью, либо быть независимыми. Корреляционная зависимость является частным случаем стохастической зависимости, при которой изменение значений факторных признаков (х1, х2,…, xk) влечет за собой изменение среднего значения результативного признака. Корреляционная зависимость исследуется с помощью методов корреляционного и регрессионного анализов.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения.
Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (х1, х2,…, xk). Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак (Y) подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки х1, х2,…, xk могут иметь произвольный закон распределения. Уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-экономических явлений, выражается функцией:  .
Уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-экономических явлений, является достаточно адекватным реальному моделируемому явлению или процессу в случае соблюдения следующих требований их построения.
1. Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.
2. Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.
3. Все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение.
4. Достаточно большой объем исследуемой выборочной совокупности;
5. Причинно-следственные связи между явлениями и процессами следует описывать линейной или приводимой к линейной формой зависимости;
6. Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи;
7. Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности;
8. Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).
По форме зависимости различают:
а) линейную регрессию, которая выражается уравнением пря¬мой (линейной функцией) y=a0+a1x
 б) нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями вида:
- Гиперболическая зависимость    
- Степенная зависимость     
- Логарифмическая зависимость 
- Параболическая зависимость 
- Тригонометрическая зависимость 
 Корреляционный анализ изучает взаимосвязь показателей и позволяет решить следующие задачи:
1) Оценка тесноты связи между показателями с помощью парных, частных и множественных коэффициентов корреляции;
2) Оценка уравнения регрессии. Основной предпосылкой применения корреляционного анализа является необходимость подчинения совокупности значений всех факторных и результативного признаков k- мерному нормальному закону распределения или близость к нему.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность определять полезность факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.
Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными);
 
Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;
 
В случае зависимости Y от двух факторных признаков x1 и x2 коэффициент частной корреляции следующий:
  
Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
 
где   - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии;
   - остаточная дисперсия; 
   - общая дисперсия результативного признака;
 В случае оценки связи между результативными Y и двумя факторными признаками (x1) и (x2) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле:
 , где r–парные коэффициенты корреляции
В случае наличия нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение.
  
Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1, и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции. Чем теснее связь между х и у, тем    меньше, а η больше.
Выбор формы уравнения регрессии:
1) Для каждой зависимости определяют корреляционное отношение (для линейной зависимости коэффициент корреляции), определяется критерий Дарбина-Уотсона и ошибка аппроксимации;
2) Из зависимостей выбирают такие, у которых отсутствует автокорреляция остатков;
3) Из оставшихся уравнений регрессии выбирают то, для которого корреляционное отношение имеет наибольшее значение (для линейной зависимости коэффициент корреляции). Если таких зависимостей несколько, то выбирается та зависимость, у которой ошибка аппроксимации имеет наименьшее значение. При этом линейной зависимости, независимо от величины ошибки аппроксимации, отдается предпочтение.
Построение модели множественной регрессии включает несколько этапов:
- выбор формы связи (уравнения регрессии)
- отбор факторных признаков
Выбор формы связи затрудняется тем, что, используя математический аппарат, теоретическая зависимость между признаками может быть выражена большим числом различных функций. Поскольку уравнение регрессии строится главным образом для объяснения и количественного отображения взаимосвязей, оно должно хорошо отражать сложившиеся между исследуемыми факторами фактические связи.
Важным этапом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и последующее включение факторных признаков.
Проблема отбора факторных признаков для построения моделей может быть решена на основе эвристических или многомерных статистических методов анализа.
Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента.