Стохастические модели управления запасами.
В задачах этого типа спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ.
Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения p(r) или плотность вероятностей (r) (обычно функции p(r) и (r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса S, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с2 на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса S, то это приводит к штрафу за дефицит с3 на единицу продукции.
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.
В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения p(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:
 
В данном выражении первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s-r единиц продукции (при r s), а второе слагаемое – штраф за дефицит на r-s единиц продукта (при r s).
В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей (r), выражение C(s) принимает вид:
 
Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат принимает минимальное значение.
При дискретном случайном спросе r выражение минимально при запасе S0, удовлетворяющем неравенствам
 
а при непрерывном случайном спросе r выражение минимально при значении S0, определяемом из уравнения
 ,
где
  - есть функция распределения спроса r, F(S0) и F(S0+1) – ее значения;  - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса.
Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок.
В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.
Пусть за время задержек поставок  уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т=/n.
Пусть Sнз – первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);
Si – запас за i-й период;
ri – спрос за i-й период;
qi – пополнение запаса за i-й период;
Тогда к концу n-го периода на склад поступит  единиц продукта, а будет израсходовано  единиц, т.е.
 ,
Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.
Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле  , а оптимальный запас S находится по формуле
 
Найдя оптимальный запас S0 и зная q1, q2, … , qn-1, можно вычислить qn
 
Транспортная задача
Транспортную модель используют при рассмотрении различных практических ситуаций связанных с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управлением запасами, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала и многими другими. Кроме того модель может учитывать перевозку нескольких видов продукции.
Транспортная задача, по существу, представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс-методом. Однако специфическая структура условий задачи позволяет использовать более эффективный вычислительный метод.
Транспортная задача представляет собой нахождение оптимального плана перевозок, обеспечивающего минимизацию транспортных расходов.
Пусть:
аi - количество продукции, производимой в пункте i,       i=1,…,m;
bj - количество продукции, потребляемой в пункте j,      j=1,…,n;
cij - стоимость перевозки единицы продукции из i в j;
xij - количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю;
Тогда математическая модель задачи линейного программирования транспортного типа формулируется следующим образом:
        
     при условиях  
        ,    i=1,...,m
        ,   j=1,...,n
      , i=1,...,m,  j=1,...,n

Управление складами.
Для произведенных товаров и материальных ресурсов должны быть предусмотрены соответствующие места хранения. Весь вопрос в том, где создавать хранилища и какой емкости. Чем больше строится складов, тем быстрее обеспечивается доставка продукции к местам потребления, однако при этом растут затраты по созданию складских сооружений. И, наоборот, при укрупнении складов возрастают издержки по доставке товаров потребителям. Решение о числе пунктов хранения принимается при сравнении единовременных затрат по созданию мест хранения и годовых издержек, связанных с доставкой материалов потребителям. Использую классический метод сравнения вариантов по минимуму приведенных затрат, можно определить количество пунктов размещения складов.
Выбор пунктов размещения складов осуществляется с помощью формулы:
 
где:
Пз – суммарные приведенные затраты по каждому рассматриваемому варианту сооружения складов;
К – капитальные вложения на сооружения объектов хранения;
Ен – нормативный коэффициент эффективности капитальных  вложений (Ен=0,15);
Ис , Ит – годовые издержки, связанные с содержанием складских хранилищ и доставкой материалов со складов в адрес потребителей.
Проведя расчет по каждому варианту размещения склада, можно определить наиболее эффективный из них.

3.3.2 Управление производством.
Планирование производства.
Задача представляет собой нахождение такого плана выпуска продукции, при котором прибыль от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов. Входными параметрами задачи являются: нормы затрат ресурсов на каждую единицу продукции, цены на ресурсы, цены на единицу продукции, объемы выпуска продукции, объемы инвестиций на расширение производства, имеющие материальные запасы. [1]
Пусть X={ x1 , x2 , … , xn} – число единиц продукции, запланированной к производству;
B={b1 , b2 , … , bm} – запас ресурса;
Y={y1 , y2 , … , ym} – количество приобретаемых ресурсов;
Cj – прибыль от реализации единицы продукции j-го вида ;
Dj – максимальный план производства продукции j-го вида;
dj – минимальный план производства продукции j-го вида;
Si – стоимость i-го вида материала;
aij – норма затрат i-го ресурса для производства единицы продукции j-го вида;
Q – сумма инвестиций в производство;
fij – единичная эффективность j¬-го вида продукции по i-му показателю;
Fij - суммарный i-ый показатель, обязательный для предприятия
Тогда, решение задачи сводится к задаче максимизации целевой функции
Задача о замене оборудования
При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как n –шаговый, разбивая весь период эксплуатации на n шагов. Предполагается, что оборудование используется в течении n лет, а затем продается. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками: Хс (сохранить оборудование), Хз (заменить). [1]
Пусть r(t) – затраты на содержание оборудования;
g(t) – ликвидная стоимость оборудования;
P0 – стоимость нового оборудования.
Уравнения состояния зависят о управления:
                                                            

k=1,2, … , n

Пусть Z*k(t) – условно оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k-го шага до конца при условии, что к началу k-го шага машина имеет возраст t лет.

Схема решения задачи

Таким образом, можно получить план использования оборудования, обеспечивающий минимизацию издержек, связанных с его ремонтом и обновлением.

Выбор состава оборудования технологической линии
Суть задачи в следующем: есть технологическая линия, т.е. цепочка, последовательность операций. На каждую операцию можно назначить оборудование только какого-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной операции, - несколько видов. [2]
В излагаемом методе в качестве исходной используется та информация, которая обычно есть в распоряжении проектировщиков на этапе технико-экономического обоснования:
N – директивный объем выпуска;
Т – директивный срок окупаемости;
xij и yij – производительность, соответственно, по входу и выходу для j-го типа оборудования, претендующего на i-ую операцию;
Kij и Qij – коэффициенты, соответственно, капитальных и эксплутационных затрат для j-го типа оборудования, претендующего на i-ую операцию;
C0 – полная цена сырья при его единичных затратах;
Сij – стоимость единицы оборудования для j-го типа i-ой операции;
q – число операций, причем из соображений удобств нумерация операций будет идти с конца технологического процесса (первой по номеру будет завершающая операция).
nij – оценка количества агрегатов j-го типа, используемых на i-ой операции;
Xij и Yij – соответственно объемы выхода и входа i-ой операции при использовании на ней оборудования j-го типа.
Имея в виду, что надо обеспечить директивный объем выпуска и что объем входа каждой операции равен объему выхода опера¬ции, которая ей непосредственно предшествует, можно записать:
 ,   ,   ,   , …
  ,  .
Величина Yqj — это необходимый объем входного сырья или одной из компонент входного сырья, по которой считаются объе¬мы и стоимости остальных компонент (для простоты пока счита¬ется, что на промежуточные операции сырье уже не поступает). Расходы, связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-ой операции определяются по формуле:
 
При использовании nij единиц оборудования затраты будут Rijnij. Оценка общих затрат М на все производство:
 
Оценка себестоимости:
 
Как показывает более тщательный анализ, учет целочисленности агрегатов дает точное значение себестоимости:
 
где   - разность между оценкой npj и ближайшим большим натуральным числом.
Календарное планирование.
Задача состоит в нахождении оптимального календарного плана производства, состоящего из n этапов, минимизирующего суммарные затраты.
Введем следующие обозначения для этапа i;  i= 1,2,...,N:
 - производственные затраты на единицу продукции при обычном режиме работы,
 - производственные затраты на единицу продукции при работе в сверхурочное время, ( >  )
 - затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i+1,
 - потери от дефицита на единицу продукции, требуемой на этапе i, но поставляемой на этапе i+1,
  - производственная мощность (в единицах продукции) при обычном режиме работы,
 - производственная мощность (в единицах продукции) при работе в сверхурочное время,
 - спрос (в единицах продукции).

Затраты на единицу продукции в дополнительном столбце равны нулю. Если предположить, сто дефицит не допускается, то продукцию, выпускаемую на рассматриваемом этапе, нельзя использовать для удовлетворения спроса предыдущих этапов.
Так как задолженность в модели не допускается, то для каждого этапа k в нее необходимо включить ограничение, состоящее в том, что накопленный спрос не должен превышать соответствующий общий объем произведенной продукции, т.е.
        k=1,2,...,N.
Так как спрос на этапе i должен быть удовлетворен прежде, чем спрос на этапах i+1, i+2,..., n, и поскольку на функцию производственных затрат наложены специальные требования, нет необходимости применять общий алгоритм решения транспортной задачи. Сначала путем последовательного назначения максимально возможных поставок по наиболее дешевым элементам первого столбца удовлетворяется спрос на первом этапе. Затем корректируются значения ai, которые после этого определяют оставшиеся мощности для различных этапов. Далее рассматривается второй этап, и его спрос удовлетворяется наиболее дешевыми поставками в пределах новых ограничений на производственные мощности. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос этапа n.